Mencari Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Maple

Mencari Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Maple

Dengan menggunakan konsep turunan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam selang interval tertentu dapat dicari.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, terlebih dahulu dibahas mengenai nilai kritis.

Adapun definisi nilai kritis adalah sebagai berikut:

“Nilai kritis c dari suatu fungsi f merupakan bilangan dalam domain f sedemikian hingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.”

Dalam Maple tersedia function untuk mencari nilai kritis suatu fungsi. Function tersebut tersedia dalam Calculus1 Student Package. Sintaksnya adalah

 

1.> with(Student[Calculus1]):
2.
3.> CriticalPoints(fungsi,[interval], [option]);

Penggunaan parameter ‘interval’ pada perintah CriticalPoints() sifatnya optional. Parameter ini ditambahkan apabila diinginkan mencari nilai kritis pada suatu interval tertentu. Hasil nilai kritis dapat dinyatakan dalam bentuk floating point. Apabila hal ini diinginkan, maka tambahkan perintah ‘numeric = true’ pada bagian option. Secara default, nilai kritis yang ditampilkan dalam bentuk eksak.

Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana menentukan nilai kritis suatu fungsi menggunakan Maple.

“Diberikan suatu fungsi f(x) = x^(3/4)*(x-7). Tentukan nilai kritis fungsi tersebut”.

Perintah Maplenya adalah:

1.> with(Student[Calculus1]):
2.
3.> f := x -> x^(3/4)*(x-7);
4.
5.> CriticalPoints(f(x));

Dari perintah di atas, akan diperoleh hasil [0, 3], artinya nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 3.

Sedangkan perintah berikut ini digunakan untuk mencari nilai kritis f(x) di selang [1, 5]

1.> f := x -> x^(3/4)*(x-7);
2.
3.> CriticalPoints(f(x), x=1..5);

dan hasilnya adalah [3], artinya nilai kritisnya hanya ada satu yaitu x = 3.

Setelah dijelaskan bagaimana mencari nilai kritis suatu fungsi, selanjutnya akan dibahas bagaimana mencari nilai minimum dan maksimum fungsi.

Secara teori, pencarian nilai maksimum dan minimum fungsi dapat dilakukan dengan metode selang tertutup. Metode ini menyatakan bahwa untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup [a, b] dilakukan dengan cara:

  1. Dicari nilai fungsi pada nilai kritis f pada selang [a, b] atau mencari f(c) dengan c adalah nilai kritisnya.
  2. Dicari nilai fungsi pada titik ujung selang (dalam hal ini pada a dan b) atau mencari f(a) dan f(b)
  3. Nilai maksimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terbesar dari langkah 1 dan 2. Sedangkan nilai minimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terkecil dari langkah 1 dan 2.

Nah… kita akan menerapkan teori di atas pada Maple untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi.

Untuk singkatnya, kita akan ambil contoh saja.

“Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 pada selang [-1/2, 4]“.

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mencari nilai-nilai kritisnya terlebih dahulu.

1.> with(Student[Calculus1]):
2.
3.> f := (x) -> x^3-3*x^2+1;
4.
5.> CriticalPoints(f(x), x = -1/2..4);

Dari perintah di atas, akan diperoleh nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 2.

Selanjutnya akan dicari nilai f(0) dan f(2), serta nilai f(-1/2) dan f(4).

1.> f(0);
2.
3.> f(2);
4.
5.> f(-1/2);

Sumber : Ebook “Kalkulus dengan Maple

*sumber : http://blog.rosihanari.net/mencari-maksimum-dan-minimum-fungsi-dengan-maple

 

Dipublikasi di Uncategorized

Penerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit

Penerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf  Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit

Ivan Saputra – 13505091

Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung

Jl. Ganesha 10, Bandung

E-mail : if115091@students.if.itb.ac.id

Abstrak

Makalah ini membahas tentang kajian teori baru yaitu eksentrik digraf dari graf star, graf double star dan

graf komplit bipartit dengan mengacu pada teori graf yang didapat di mata kuliah Matematika Diskrit.

Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian, karena model-modelnya sangat berguna

untuk aplikasi yang luas, seperti masalah dalam jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, dan

lain sebagainya. Salah satu aplikasi dalam teori graf adalah menentukan kota terjauh (maksimal lintasan

terpendek) dari suatu kota ke kota lain. Jarak (distance) d(u,v) antara dua titik u dan v adalah panjang

lintasan terpendek dari titik u ke titik v di G. Jika tidak ada lintasan dari u ke v, maka d(u,v) = ∞.

Eksentrisitas titik v di graf G, dinotasikan ec(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v

ke setiap titik di G. Titik v adalah titik eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama dengan eksentrisitas dari

u atau d(v, u) = ec(u). Eksentrik digraf pada graf ED(G) didefinisikan sebagai graf yang mempunyai

himpunan titik yang sama dengan G atau V(ED(G)) = V(G) dimana arc menghubungkan titik u ke v, jika v

adalah titik eksentrik dari u. Masalah yang dibahas dalam penelitian ini adalah menentukan eksentrik

digraf dari graf star, graf double star dan graf komplit bipartit. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini

adalah sebagai berikut. Eksentrik digraf dari graf star ED(Sm) adalah graf komplit Km yang mempunyai

arah dan eksentrik digraf dari graf double star ED(Sn,m) adalah digraf bipartit D(Bn,m). Selanjutnya

eksentrik digraf dari graf komplit bipartit ED(Km,n) adalah digraf komplemen Km,n = D (Km,n ).

Kata kunci : graf star, graf double star, graf komplit bipartit, jarak, eksentrisitas,

titik eksentrik dan eksentrik digraf.

1. Pendahuluan

Teori graf saat ini menjadi topik yang banyak

mendapat perhatian, karena model-model yang

ada pada teori graf berguna untuk aplikasi yang

luas, seperti masalah dalam jaringan komunikasi,

transportasi, ilmu komputer, riset operasi, dan

lain sebagainya. Salah satu aplikasi dalam teori

graf adalah menentukan kota terjauh (maksimal

lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain

yang terdiri dari kumpulan kota dalam suatu

daerah. Masalah ini ekuivalen dengan

menentukan eksentrisitas titik pada graf.

Misal G graf dengan himpunan titik V(G) dan

himpunan sisi E(G). Jarak d(u,v) antara dua titik

u dan v adalah panjang lintasan terpendek dari

titik u ke v. Jika tidak ada lintasan dari titik u ke

v, maka kita definisikan jarak d(u,v) = ∞.

Eksentrisitas ec(v) pada sebuah titik v dalam graf

G adalah jarak terjauh (maksimal lintasan

terpendek) dari titik v ke setiap titik di G, dapat

dituliskan ec(v) = max{d(v,u)|u V(G)}. Radius

r(G) dari G adalah eksentrisitas minimum pada

setiap titik di G, dapat dituliskan r(G) =

min{ec(v)|vV} sedangkan diameter dari G,

dinotasikan dia(G) adalah eksentrisitas

maksimum pada setiap titik di G, dapat

dituliskan dia (G) = maks{ec(v)|vV}. Titik v

disebut titik central jika ec(v) = r(G).

Eksentrik digraf diperkenalkan pertama kalinya

oleh Fred Buckley pada tahun 90-an.

Eksentrik digraf ED(G) pada graf G

didefinisikan sebagai graf yang mempunyai

himpunan titik yang sama dengan himpunan titik

di G atau V(ED(G))=V(G), dimana arc

menghubungkan titik u ke v jika v adalah titik

eksentrik dari u. Pada papernya [1] Buckley

memberikan kesimpulan bahwa hampir setiap

graf G, eksentrik digrafnya adalah ED(G) =

(G)∗ , dimana (G)∗ adalah graf komplemen dari

G yang setiap sisinya diganti dengan dua arc (sisi

berarah) yang simetrik.

Pada skripsi ini, kita tertarik untuk membahas

eksentrik digraf dari graf komplit bipartit, graf

star, dan graf double star.

2. Dasar Graf

Graf tak berarah G adalah pasangan himpunan

(V, E) dimana V adalah himpunan tak kosong

dari elemen yang disebut titik (vertex) dan E

adalah himpunan dari pasangan tak terurut (u, v)

(selanjutnya akan ditulis uv) dari titik u, v di V

yang disebut sisi (edge). Untuk selanjutnya graf

tak berarah G akan disebut graf G saja. Sebagai

contoh, gambar 2.1 (a) adalah graf dengan

himpunan titik V(G) = {u, v, x, y, z, w}dan

himpunan sisi E(G) = {vx, vy, yz, zu, zw}.

Sisi yang menghubungkan dua titik yang sama,

yakni e = uu disebut loop. Jika terdapat lebih dari

satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka

sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple

edge). Pada gambar 2.1 (b), sisi e3 adalah loop

dan sisi e1, e2 adalah sisi rangkap. Graf yang

tidak mempunyai loop dan sisi rangkap disebut

graf sederhana.

Order n dari graf G adalah banyaknya titik di G,

yakni n = |V|. Graf yang ordernya hingga disebut

dengan graf hingga. Sebagai contoh, gambar 2.1

(a) adalah graf yang mempunyai order 6. Pada

skripsi ini, graf yang kita bahas adalah graf

sederhana dan graf hingga.

Gambar 2.1 Contoh Graf

Misal u dan v titik pada graf G. Titik v dikatakan

tetangga (adjacent) u jika ada sisi e yang

menghubungkan titik u dan v, yaitu e = uv.

Himpunan semua tetangga dari titik v

dinotasikan dengan N(v). Jika e = uv adalah sisi

pada graf G maka e dikatakan menempel

(incident) pada titik u dan v. Contohnya pada

gambar 2.2 , titik u adalah adjacent titik v dan x

tetapi titik u bukan adjacent titik w, titik u dan

sisi e1 adalah incident tetapi titik w dan sisi e1

bukan incident.

Gambar 2.2 Adjacent dan incident

Derajat (degree) dari titik v di G adalah jumlah

sisi yang berhubungan dengan v. Jika setiap titik

v pada graf G mempunyai derajat yang sama,

maka graf G disebut graf reguler. Sebuah graf G

dikatakan r-reguler atau reguler pada derajat r,

jika setiap titik pada G mempunyai derajat r.

Sebagai contoh pada gambar 2.3, graf G adalah

graf 3 − reguler.

Gambar 2.3 Graf Reguler

Komplemen dari graf G dinotasikan G adalah

graf dengan himpunan titik V(G ) = V(G)

dimana titik u, v tetangga pada G jika dan hanya

jika titik u,v bukan tetangga pada G. Contoh graf

dan komplemennya dapat dilihat pada gambar

2.4.

Gambar 2.4 Graf dan Komplemennya

Jalan (walk) W dengan panjang n dari titik a ke b

pada graf G adalah barisan titik a = vo, e1, v1, e2,

v2, e3, v3, …, vn-1, en, vn = b (n ≥ 0) yang terdiri

dari titik dan sisi di G yang diawali dan diakhiri

dengan titik, sedemikian hingga (vi, vi+1) adalah

sisi di G untuk setiap i = 0, 1, 2, …, n-1. Jalan ini

menghubungkan titik vo dan vn, dan dapat juga

dinotasikan sebagai vo-v1-…-vn. Jalan dikatakan

tertutup jika a = b dan terbuka jika a b.

Sebagai contoh pada gambar 2.5, xwyvux

adalah jalan tertutup dengan panjang 5 dan uvw

xuvy adalah jalan terbuka dengan panjang 6.

Jejak (trail) adalah jalan dimana tidak ada sisi

yang berulang. Jalan dikatakan lintasan (path)

jika semua titiknya berbeda. Lintasan adalah

jejak, akan tetapi tidak semua jejak adalah

lintasan. Sedangkan lintasan tertutup dinamakan

sikel (cycle). Pada gambar 2.5, jalan xwvuwy

adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan ux

wvy adalah lintasan, dan uwyvu adalah

sikel.

Gambar 2.5 Walk pada Graf

Graf H dikatakan subgraf dari graf G jika setiap

titik di H adalah titik di G dan setiap sisi di H

adalah sisi di G, dengan kata lain V(H) ⊆ V(G)

dan E(H) ⊆ E(G). Sebagai contoh pada gambar

2.6, G1 dan G2 adalah subgraf dari G tetapi G3

bukan subgraf dari G karena ada sisi xw di E(G3)

yang bukan elemen dari E(G).

Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya

Komponen dari G adalah subgraf terhubung

maksimal dari G. Jadi setiap graf terhubung

hanya mempunyai satu komponen dan untuk graf

tak terhubung mempunyai sedikitnya dua

komponen. Gambar 2.7 (a) adalah graf

terhubung dan 2.7 (b) adalah graf tak terhubung

dengan dua komponen.

Gambar 2.7 Graf terhubung dan graf tak terhubung

Jarak d(u,v) antara dua titik u dan v pada graf G

adalah panjang lintasan terpendek dari titik u ke

v. Jika tidak ada lintasan dari titik u ke v, maka

kita definisikan jarak d(u,v) = ∞. Sebagai contoh,

graf pada gambar 2.8, d(u,v) = 2 sedangkan d(v,

w) = ∞.

Gambar 2.8 Jarak pada Graf

Eksentrisitas ec(v) pada titik v dalam graf G

adalah jarak terjauh (maksimal lintasan

terpendek) dari titik v ke setiap titik di G, dapat

dituliskan ec(v) = max{d(v,u)|u V(G)}. Radius

r(G) dari G adalah eksentrisitas minimum pada

setiap titik di G, dapat dituliskan r(G) =

min{ec(v)|vV} dan diameter dari G,

dinotasikan dia(G) adalah eksentrisitas

maksimum pada setiap titik di G, dapat

dituliskan dia (G) = maks{ec(v)|vV}, titik v

disebut titik central jika ec(v) = r(G), center

dinotasikan cen(G) adalah subgraf pada G yang

terbentuk dari titik central. Titik v dikatakan titik

eksentrik dari u jika jarak dari v ke u sama

dengan titik eksentrik dari u, dapat dituliskan

d(v,u) = ec(u). Eksentrisitas titik, titik eksentrik,

radius, diameter dan center dari graf pada

gambar 2.9 adalah sebagai berikut :

Gambar 2.9 Eksentrisitas

Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik

a ec(a) = 3 f

b ec(b) = 2 c, f

c ec(c) = 3 f

d ec(d) = 2 a, f

e ec(e) = 2 a, c

f ec(f) = 3 a, c

Jadi r(G) = 2, dia (G) = 3, cen(G) =

Graf yang setiap dua titik yang berbeda adalah

tetangga disebut graf komplit. Graf komplit

dengan n titik dinotasikan Kn. Contoh graf

komplit K2 dan K3 ditunjukkan pada gambar

2.10.

Gambar 2.10 Graf komplit

Graf yang terdiri dari satu lintasan disebut graf

lintasan. Graf lintasan dengan n titik dinotasikan

Pn. Contoh graf lintasan P2, P3 dan P4 dapat

dilihat pada gambar 2.11.

Gambar 2.11 Graf Lintasan

Sebuah graf yang terdiri dari satu lingkaran

disebut graf sikel. Graf sikel dengan n titik

dinotasikan Cn. Pada gambar 2.12 dapat dilihat

graf lingkaran C3, C4 dan C5.

Gambar 2.12 Graf Sikel

Graf G dikatakan bipartit jika himpunan titiktitik

V(G) dapat dipisah menjadi dua himpunan

V1(G) dan V2(G). Jika setiap pasang titik di V1

dan V2 saling terhubung maka graf tersebut

dinamakan graf komplit bipartit. Jika |V1| = m

dan |V2| = n, graf komplit bipartit dinotasikan

Km,n. Graf star adalah graf komplit bipartit K1,n

atau Kn,1. Untuk pembahasan selanjutnya graf

star K1,n atau Kn,1 akan dinotasikan dengan Sm,

dimana m = n + 1 Contoh graf komplit bipartit

K2,3 dan graf star S5 dapat dilihat pada gambar

2.13.

Gambar 2.13 Graf Komplit Bipartit

Graf star adalah graf komplit bipartit K1,n atau

Kn,1. Untuk pembahasan selanjutnya graf star

K1,n atau Kn,1 akan dinotasikan dengan Sm, dengan

m = n + 1, dimana 1 titik berderajat n disebut

titik central dan n titik berderajat 1 disebut titik

daun. Contoh graf star S5 dapat dilihat pada

gambar 2.14.

Gambar 2.14 Graf Star

Sebuah pohon (tree) T adalah graf terhubung

yang tidak memuat sikel (cycle). Sebagai contoh,

pada gambar 2.15 adalah pohon dengan order 6.

Gambar 2.15 Pohon

Pohon T dikatakan double star jika terdiri dari

dua graf star Sn dan Sm, dimana kedua titik

centralnya saling bertetangga, dinotasikan Sn,m

(selanjutnya akan ditulis graf double star).

Contoh graf double star S3,3 dapat dilihat pada

gambar 2.16.

Gambar 2.16 Graf double Star

Misal ada dua graf G1 dan G2 dimana himpunan

titik V(G1) dan V(G2) saling asing begitu juga

himpunan sisi E(G1) dan E(G2), maka gabungan

graf dinotasikan G1 ∪ G2 adalah graf yang

mempunyai himpunan titik V(G1 ∪ G2) = V(G1)

V(G2) dan himpunan sisi E(G1 ∪ G2) = E(G1)

E(G2). Sebagai contoh, pada gambar 2.17 graf

G = P2 ∪ C3 adalah gabungan graf lintasan P2

dan graf lingkaran C3.

Gambar 2.17 Graf gabungan

Digraf D adalah pasangan himpunan (V, A)

dimana V adalah himpunan tak kosong dari

elemen-elemen yang disebut titik dan A adalah

himpunan dari pasangan terurut (u, v) dari titik u,

v di V yang disebut arc. Pada gambar 2.18

menunjukkan sebuah graf berarah dengan

himpunan titik V(D) = {u, v, w, x} dan himpunan

arc A(D) = {(u, w), (v, u), (v, w), (w, x), (x, w)}.

Gambar 2.18 Digraf

Eksentrik Digraf ED(G) didefinisikan sebagai

graf yang mempunyai himpunan titik yang sama

dengan himpunan titik di G atau

V(ED(G))=V(G), dimana arc menghubungkan

titik u ke v jika v adalah titik eksentrik dari u.

Contoh graf dan eksentrik digrafnya diberikan

pada gambar 2.19.

Gambar 2.19 Graf dan eksentrik digrafnya

3. Eksentrik Digraf

Eksentrik Digraf dari Graf Star.

Misal graf star Sm mempunyai himpunan titik

V(Sm) = {vo, v1, v2,…, vm-1} dimana vo adalah

titik central dan v1, v2,…, vm-1 adalah titik daun,

dan himpunan sisi E(Sm) = {e1, e2, …, em-1}

dimana sisi ei = vovi untuk setiap i = 1, 2, 3, …,

m-1.

Sifat 3.1 Eksentrisitas titik vi pada graf star Sm

adalah sebagai berikut

1 untuk i = 0

ec(vi) =

2 untuk i = 1, 2, 3, …, m-1.

Dari definisi graf star, dimana vo adalah titik

central dan vi untuk setiap i = 1, 2, 3, …, m-1

adalah titik daun, maka dapat diketahui jarak

terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik

central adalah semua titik daun, yaitu dengan

jarak 1. Jadi eksentrisitas titik ec(vo) = 1.

Demikian juga eksentrisitas dari titik daun

adalah titik daun lainnya, yaitu dengan jarak 2.

Jadi eksentrisitas titik ec(vi) = 2.

Akibat 3.1 Titik eksentrik pada graf star Sm

adalah sebagai berikut

vj untuk i = 0

titik eksentrik dari vi = j=1,2,3,…,m-1

vj untuk i,j=1,2,3,…,m-1

i j.

Dari sifat 3.1, eksentrisitas dari titik central vo

adalah 1, maka titik eksentriknya adalah semua

titik daun vj untuk setiap j = 1, 2, 3, …, m-1.

Demikian juga eksentrisitas dari titik daun vi

adalah 2 untuk setiap i = 1, 2, 3, …, m-1 maka

titik eksentriknya adalah semua titik daun vj

untuk setiap j = 1, 2, 3, …, m-1 dengan i j.

Dari eksentrisitas titik ec(vi) dan titik eksentrik

pada graf star Sm, selanjutnya kita mempunyai

sifat berikut:

Sifat 3.2 Eksentrik digraf dari graf star ED(Sm)

adalah digraf dengan himpunan titik V(ED(Sm))

= {vo, v1, v2,…, vm-1} dan himpunan arc

vovj untuk j = 1, 2, 3, …, m-1

A(ED(Sm)) =

vivj untuk i, j = 1, 2, 3, …, m-1

i j.

Dari akibat 3.1, titik eksentrik dari titik central

vo adalah titik daun vj untuk setiap j = 1, 2, …,

m-1, sehingga ada arc dari vo ke vj yaitu vovj.

Demikian juga untuk titik daun vi untuk setiap i

= 1, 2, …, m-1 titik eksentriknya adalah titik

daun vj untuk setiap j = 1, 2, …, m-1 dengan i

≠ j, sehingga ada arc dari vi ke vj yaitu vivj.

Dari sifat 3.2 dapat disimpulkan bahwa eksentrik

digraf dari graf star ED(Sm) adalah graf komplit

Km dimana arc dari titik central adjacent keluar

ke semua titik daun dan arc dari setiap titik daun

adjcent keluar ke setiap titik daun lainnya dengan

jumlah arc

|A(Km)| = |A(ED(Sm))| = (m-1)2.

Contoh eksentrik digraf dari graf star Sm

diberikan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Garf S5 dan eksentrik digrafnya

Eksentrik Digraf dari Graf Double Star.

Graf double star Sn,m adalah graf yang terdiri dari

dua graf star Sn dan Sm, dimana kedua titik

centralnya saling bertetangga. Misal graf double

star Sn,m mempunyai himpunan titik

V1 = {v1, v2, …, vn}

V(Sn,m) =

V2 = {vn+1, vn+2, …, vn+m}

dimana : v1 adalah titik central di V1, v2, v3, …,

vn adalah titik daun di V1, vn+1 adalah titik central

di V2 dan vn+2, vn+3, …, vn+m adalah titik daun di

V2, dan himpunan sisi

E1 = {e0} dimana e0 = v1vn+1

E(Sn,m) = E2 = {e1, e2, …, en-1} dimana ei = v1vi+1

untuk i = 1, 2, …, n-1

E3 = {en, en+1, …, en+m-2}dimana en-1+i =

vn+1vn+1+i untuk i = 1,

2, …, m-1.

Sifat 3.3 Eksentrisitas titik vi pada graf double

star Sn,m adalah sebagai berikut

2 untuk i = 1,n+1

ec(vi) =

3 untuk i = 2, 3, …, n,n+2,…,n+m

Dari definisi graf double star Sn,m, dimana v1 dan

vn+1 adalah titik central dan vi untuk setiap i = 2,

3, …, n, n+2, …, n+m adalah titik daun, maka

jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari

titik central v1 di V1 adalah semua titik daun di V2

dan jarak terjauh dari titik central vn+1 di V2

adalah semua titik daun di V1 yaitu dengan jarak

2. Jadi eksentrisitas titik ec(v1) = ec(vn+1) = 2.

Demikian juga jarak terjauh (maksimal lintasan

terpendek) dari titik daun di V1 adalah semua

titik daun di V2 dan jarak terjauh (maksimal

lintasan terpendek) titik daun di V2 adalah semua

titik daun di V1 yaitu dengan jarak 3. Jadi

eksentrisitas titik ec(v2) = ec(v3) = … = ec(vn) =

ec(vn+2) = ec(vn+3) =… = ec(vn+m) = 3.

Akibat 3.2 Titik eksentrik pada graf double star

Sn,m adalah sebagai berikut:

vj untuk i = 1

j = n + 2, n + 3, …, n + m

vj untuk i = n + 1,

titik eksentrik dari vi = j = 2, 3, …, n

vj untuk i = 2, 3, …, n

j = n + 2, n + 3, …, n + m

vj untuk i = n + 2, n + 3,…,n + m

j = 2, 3, …, n.

Dari sifat 3.3, eksentrisitas dari titik central v1 di

V1 adalah 2, maka titik eksentriknya adalah titik

daun vj untuk setiap j = n+2, n+3, …, n+m di V2

dan eksentrisitas dari titik central vn+1 di V2

adalah 2, maka titik eksentriknya adalah titik

daun vj untuk setiap j = 2, 3, …, n di V1.

Demikian juga eksentrisitas dari titik daun vi

untuk setiap i = 2, 3, …, n di V1 adalah 3

sehingga titik eksentriknya adalah titik daun vj

untuk setiap j = n+2, n+3, …, n+m di V2 dan

eksentrisitas dari titik daun vi untuk setiap i =

n+2, n+3, …, n+m di V2 adalah 3 sehingga titik

eksentriknya adalah titik daun vj untuk setiap j =

2, 3, …, n di V1.

Eksentrisitas titik ec(vi) dan titik eksentrik dari

graf double star kita peroleh, maka kita

mempunyai:

Sifat 3.4 Eksentrik digraf dari graf double star

ED(Sn,m) adalah digraf dengan himpunan titik

V(ED(Sn,m)) = {v1, v2, v3, …, vn, vn+1, vn+2,

…, vn+m} dan himpunan arc

v1vj untuk j = n + 2, n + 3, …, n + m

vn+1vj untuk j = 2, 3, …, n

A(ED(Sn,m))= vivj untuk i = 2, 3, …, n

j = n + 2, n + 3, …, n + m

vivj untuk i = n + 2, n + 3,…,n + m

j = 2, 3, …, n.

Dari akibat 3.2, dimana titik eksentrik dari titik

central v1 di V1 adalah titik daun vj untuk setiap j

= n+2, n+3, …, n+m di V2, sehingga ada arc dari

v1 ke vj yaitu v1vj dan titik eksentrik dari titik

central vn+1 di V2 adalah titik daun vj untuk setiap

j = 2, 3, …, n di V1, sehingga ada arc dari vn+1 ke

vj yaitu vn+1vj. Demikian juga titik eksentrik dari

titik daun vi untuk setiap i = 2, 3, …, n di V1

adalah titik daun vj untuk setiap j = n+2, n+3, …,

n+m di V2, sehingga ada arc dari vi ke vj yaitu

vivj dan titik eksentrik dari titik daun vi untuk

setiap i = n+2, n+3, …, n+m di V2 adalah titik

daun vj untuk setiap j = 2, 3, …, n di V1,

sehingga ada arc dari vi ke vj yaitu vivj.

Dari sifat 3.4 dapat disimpulkan bahwa eksentrik

digraf dari graf double star ED(Sn,m) adalah

digraf bipartit D(Bn,m) yang mempunyai dua

himpunan titik yaitu V1(Bn) dan V2(Bm), dengan

V1(Bn) = {v1, v2, …, vn}dan V2(Bm) = {vn+1, vn+2,

…, vn+m}, dimana arc dari titik central v1 di V1

adjacent keluar ke titik daun di V2 dan arc dari

titik central vn+1 di V2 adjacent keluar ke titik

daun di V1, demikian juga arc dari titik daun V1

adjacent keluar ke titik daun di V2 dan arc dari

titik daun V2 adjacent keluar ke titik daun di V1

dengan jumlah arc

|A(ED(Sn,m))| = [(n – 1)m + (m – 1)n].

Contoh, eksentrik digraf dari graf double star Sn,m

diberikan pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Graf S3,4 dan eksentrik diagrafnya

Eksentrik Digraf dari Graf Komplit Bipartit.

Misal graf komplit bipartit Km,n mempunyai

himpunan titik

V1 = {v1, v2, …, vm}

V(Km,n) =

V2 = {vm+1, vm+2, …, vm+n}

dan himpunan sisi E(Km,n) = {e11, e21, …,en1, e12,

…, en2, …,enm} dimana eij = vjvm+i untuk setiap i

= 1, 2, 3, …, n dan j = 1, 2, 3, …, m.

Sifat 3.5 Eksentrisitas titik vi pada graf komplit

bipartit Km,n adalah sebagai berikut:

ec(vi) = 2 untuk setiap i = 1, 2, 3, …, m+n

Dari definisi graf komplit bipartit, jarak terjauh

(maksimal lintasan terpendek) dari vi untuk

setiap i = 1, 2, …, m di V1 adalah semua titik di

V1 kecuali dirinya sendiri, demikian juga jarak

terjauh dari vi untuk setiap i = m+1, m+2, …,

m+n di V2 adalah semua titik di V2 kecuali

dirinya sendiri, yaitu dengan jarak 2. Jadi ec(vi) =

2 untuk setiap i = 1, 2, …, m+n.

Akibat 3.5 Titik eksentrik pada graf komplit

bipartit Km,n adalah sebagai berikut:

titik eksentrik di V1 dari vi = vj untuk i, j = 1, 2,

…, m

j i,

titik eksentrik di V2 dari vi = vj untuk i, j = m+1,

m+2, …, m+n

j i.

Dari sifat 3.5, titik eksentrik dari vi di V1 untuk

setiap i = 1, 2, …, m adalah vj di V1 untuk setiap

j = 1, 2, …, m dan j i dan titik eksentrik dari vi

di V2 untuk i = m+1, m+2, …, m+n adalah vj di

V2 untuk j = m+1, m+2, …, m+n dan j i.

Sifat 3.6 Eksentrik digraf dari graf komplit

bipartit ED(Km,n) adalah digraf dengan

himpunan titik V(ED(Km,n)) = {v1, v2, v3,…,

vm+n} dan himpunan arc

vivj untuk i, j = 1, 2, 3, …, m

A(ED(Km,n)) = j i

vivj untuk i,j = m+1,m+2,…,m+n

j i

Dari akibat 3.3, titik eksentrik dari vi di V1 untuk

setiap i = 1, 2, …, m adalah vj di V1 untuk setiap j

= 1, 2, …, m dengan j i, sehingga ada arc dari

vi ke vj yaitu vivj dan titik eksentrik dari vi di V2

untuk setiap i = m+1, m+2, …, m+n adalah vj di

V2 untuk setiap j = m+1, m+2, …, m+n dengan j

i, sehingga ada arc dari titik vi ke vj yaitu vivj.

Dari sifat 3.6 dapat disimpulkan bahwa eksentrik

digraf dari graf komplit bipartit ED(Km,n) adalah

digraf komplemen Km,n = D (Km,n ) dengan

himpunan titik V (D (Km,n)) = V(Km,n) dimana

arc dari V1 adjacent keluar ke semua titik di V1

demikian juga di V2 dengan jumlah arc

|A(ED(Km,n))| = [(m2 + n2) – (m + n)].

Contoh, graf komplit bipartit Km,n dan eksentrik

digrafnya diberikan pada gambar 3.3.

Gambar 3.3 Graf komplit bipartit K3,3 dan eksentrik

diagraf

4. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan,

maka kesimpulan yang dapat diambil mengenai

eksentrik digraf dari graf star, graf double star

dan graf komplit bipartit adalah sebagai berikut:

1. Eksentrik digraf dari graf star ED(Sm) adalah

graf komplit Km, dimana arc dari titik central

adjacent keluar ke titik daun dan arc dari titik

daun adjcent keluar ke titik daun lainnya

dengan jumlah arc |A(Km)| = |A(ED(Sm))| =

(m-1)2.

2. Eksentrik digraf dari graf double star

ED(Sn,m) adalah digraf bipartit D(Bn,m),

dengan himpunan titik V1(Bm) = {v1, v2, …,

vn}dan V2(Bm) = {vn+1, vn+2, …, vn+m}, dimana

arc dari titik central v1 di V1 adjacent keluar

ke titik daun di V2, arc dari titik central vn+1 di

V1 adjacent keluar ke titik daun di V2, arc dari

titik central vn+1 di V2 adjacent keluar ke titik

daun di V1, arc dari titik daun V1 adjacent

keluar ke titik daun di V2 adjacent keluar ke

titik daun di V1 dengan jumlah arc

|A(ED(Sn,m))| = [(n – 1)m + (m – 1)n].

3. Eksentrik digraf dari graf komplit bipartit

ED(Km,n) adalah digraf komplemen D(Km,n),

dengan himpunan titik V(D(Km,n))= V(Km,n),

dimana arc dari V1 adjacent keluar ke semua

titik di V1 dan arc dari V2 adjacent keluar ke

semua titik di V2 dengan jumlah arc

|A(ED(Km,n))| = [(m2 + n2) – (m + n)].

DAFTAR PUSTAKA

[1] Nugroho, Kustanto Widi. 2002 . http://www.unej.ac.id/fakultas/mipa/skripsi/widi.pdf . Tanggal akses:

28 Desember 2006 pukul 17:00.

[2] Munir, Rinaldi. 2006. Matematika Diskrit Edisi Keempat. Departemen Teknik Informatika, Institut

Teknologi Bandung.

[3] Gary Chartrand & Ortrud R. O. 1993. Apllied and Algorithmic Graph Theory. McGraw. Hill, Inc.

[4] Townsend, Michael . 1987 . Discrete Mathemathic : Applied Combinatorics and Graph Theory . The

Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc.

[5] Wilson , Robin J. & John J. Watkins . 1990 . Graphs an Introductory Approach . John Wiley & Sons,

Inc.

[6] Buckley, F. —- . The Eccentric Digraph of a Graph, preprint.

[7] Chartrand, G. and Lesniak . 1996 . Graphs & Digraphs, 3rd ed . Chapman & Hill.

sumber : http://repository.unand.ac.id/181/1/35-40_zainal_abidin.pdf

Dipublikasi di Uncategorized

4 Langkah Menanggulangi Kulit Ketiak yang Hitam

4 Langkah Menanggulangi Kulit Ketiak yang Hitam

Memiliki kulit ketiak yang hitam terkadang membuat wanita kurang percaya diri. Tapi ada kiat-kiat untuk membuat kulit ketiak menjadi lebih putih dan halus. Berikut beberapa langkah yang bisa Anda ikuti.

Pertama-tama yang perlu disadari adalah, kulit ketiak merupakan salah satu kulit yang paling sensitif. Untuk itu merawatnya pun butuh perhatian khusus. kiat-kiat merawat kulit ketiak yang dikutip dari carefair ini bisa membantu Anda.

1. Pengelupasan
Kulit hitam di daerah ketiak bisa jadi merupakan kumpulan sel kulit mati. Untuk itu, yang harus Anda lakukan adalah membuang semua sel kulit mati tersebut dan menggantinya dengan yang baru. Beberapa produk kecantikan menyediakan krim khusus kulit ketiak yang bisa Anda gunakan. Secara alami, pengelupasan juga bisa dilakukan dengan menggosok kulit ketiak menggunakan spons mandi atau loofah. Dengan menggosoknya, akan memancing sel-sel kulit membentuk lapisan baru yang telah rusak.

2. Memilih pisau cukur

Bulu-bulu ketiak yang tidak tercukur dengan sempurna akan menghambat pori-pori dan membuat kulit di sekitarnya menghitam. Untuk menghindarinya, pilihlah pisau cukur yang berkualitas. Jangan pernah menggunakan pisau tumpul saat mencukur bulu ketiak. Waxing juga bisa menjadi jalan keluar yang baik, karena metode ini bisa mencabut bulu ketiak hingga ke akar, sehingga tidak tertinggal di kulit ketiak Anda.

3. Memilih deodoran

Deodoran pilihan Anda bisa jadi merupakan penyebab menghitamnya kulit di sekitar ketiak. Mungkin kandungan di dalamnya tidak sesuai dengan kulit Anda sehingga membuatnya menjadi hitam. Daripada berisiko, Anda bisa mencegah bau ketiak dengan ‘deodoran alami’. Setelah mandi, gunakanlah baking soda di ketiak Anda. Baking soda juga bisa membunuh bakteri penyebab bau tidak sedap di ketiak.

4. Memutihkan kulit
Beberapa merek produk kecantikan juga mengeluarkan pemutih khusus kulit ketiak. Anda juga bisa mencobanya sebagai solusi. Ingin yang alami? Gunakan perasan jeruk lemon di ketiak Anda setiap mandi. Perasan jeruk lemon adalah bahan pemutih kulit yang alami.

Selamat mencoba!

sumber : http://id.promotion.yahoo.com/stylefactor/artikel/post/stylefeatures/29/4-langkah-menanggulangi-kulit-ketiak-yang-hitam.html

 

Dipublikasi di Uncategorized

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!

Dipublikasi di Uncategorized | 1 Komentar